قیمت‌گذاری قراردادهای آپشن

قراردادهای آپشن (اختیار معامله) ابزارهای مشتقه‌ای هستند که به خریدار حق (نه الزام) خرید یا فروش یک دارایی مشخص در قیمتی از پیش تعیین‌شده (قیمت اعمال) و تا یک تاریخ معین (تاریخ سررسید) را می‌دهند. برای آنکه بتوان چنین قراردادی را خرید یا فروخت، باید قیمتی برای آن تعیین شود که به آن قیمت قرارداد آپشن (Option Premium) می‌گویند.

قیمت‌گذاری آپشن‌ها فرآیند تعیین ارزش منصفانه این قراردادها است که به عوامل متعددی مانند قیمت دارایی پایه، زمان باقی‌مانده تا انقضا، و نوسان‌پذیری بازار بستگی دارد. این قیمت از طریق مدل‌های ریاضی و عوامل مختلفی تعیین می‌شود. قیمت‌گذاری دقیق قرارداد آپشن به سرمایه‌گذاران کمک می‌کند تا ریسک‌های خود را بهتر مدیریت کرده و تصمیمات معاملاتی هوشمندانه‌تری بگیرند.

مدل بلک-شولز یکی از شناخته‌شده‌ترین مدل‌های ریاضی برای قیمت‌گذاری آپشن‌هاست که در سال 1973 توسط فیشر بلک، مایرون شولز و رابرت مرتون توسعه یافت. این مدل به‌ویژه برای آپشن‌های اروپایی (European Options) که فقط در تاریخ انقضا قابل اجرا هستند، بسیار پرکاربرد است. در این مقاله، ابتدا مدل بلک-شولز و فرمول آن را بررسی می‌کنیم، سپس عوامل کلیدی تأثیرگذار بر قیمت‌گذاری آپشن‌ها را شرح می‌دهیم و در نهایت محدودیت‌ها و کاربردهای این مدل را تحلیل می‌کنیم.

دوره جامع معاملات آپشن، راهی ساده برای درآمد دلاری در اوقات فراغت | همین حالا کلیک کن.

اجزای اصلی قیمت آپشن

قیمت یک قرارداد آپشن از دو بخش اصلی تشکیل شده است:

1. ارزش ذاتی (Intrinsic Value)

ارزشی است که آپشن در همان لحظه داراست. برای مثال:

در آپشن Call، ارزش ذاتی برابر است با: Max(S−K,0)

در آپشن Put، ارزش ذاتی برابر است با: Max(K−S,0)

که در آن:

• $S$: قیمت بازار دارایی پایه
• $K$: قیمت اعمال

2. ارزش زمانی (Time Value)

این بخش از قیمت به‌خاطر زمان باقی‌مانده تا سررسید است و نشان‌دهنده احتمال سودآوری آپشن در آینده است. هرچه زمان بیشتر باشد یا نوسان بیشتر باشد، این بخش افزایش می‌یابد.

عوامل کلیدی در قیمت‌گذاری آپشن‌ها

قیمت یک قرارداد آپشن تحت تأثیر عوامل متعددی قرار دارد که در مدل بلک-شولز نیز به‌عنوان متغیرهای ورودی استفاده می‌شوند. این عوامل عبارت‌اند از:

1. قیمت کنونی دارایی پایه (( S ))

• قیمت دارایی پایه (Underlying Asset) یکی از مهم‌ترین عوامل در قیمت‌گذاری آپشن است.
• برای آپشن خرید (Call): افزایش قیمت دارایی پایه باعث افزایش ارزش آپشن می‌شود، زیرا احتمال سودآوری آپشن بیشتر می‌شود.
• برای آپشن فروش (Put): افزایش قیمت دارایی پایه معمولاً باعث کاهش ارزش آپشن می‌شود.

2. قیمت اجرایی (( K ))

• قیمت اجرایی (Strike Price) قیمتی است که در آن دارایی پایه می‌تواند خریداری یا فروخته شود.
• آپشن‌هایی که قیمت اجرایی آن‌ها نزدیک به قیمت کنونی دارایی پایه است (At-the-Money) معمولاً گران‌تر هستند.
• آپشن‌های In-the-Money (داخل پول) ارزش ذاتی بیشتری دارند، در حالی که آپشن‌های Out-of-the-Money (خارج از پول) بیشتر به ارزش زمانی وابسته‌اند.

3. زمان باقی‌مانده تا انقضا (( T ))

• هرچه زمان بیشتری تا انقضای آپشن باقی مانده باشد، ارزش آپشن بالاتر است، زیرا فرصت بیشتری برای حرکت قیمت دارایی پایه وجود دارد.
• با نزدیک شدن به تاریخ انقضا، ارزش زمانی (Time Value) آپشن کاهش می‌یابد که به آن Time Decay یا پوسیدگی زمانی گفته می‌شود.

4. نوسان‌پذیری (( \sigma ))

• نوسان‌پذیری (Volatility) معیاری از میزان تغییرات قیمت دارایی پایه است.
• نوسان‌پذیری ضمنی (Implied Volatility): انتظارات بازار از نوسانات آینده قیمت است که از قیمت فعلی آپشن استخراج می‌شود.
• نوسان‌پذیری تاریخی (Historical Volatility): بر اساس داده‌های گذشته محاسبه می‌شود.
• افزایش نوسان‌پذیری باعث افزایش ارزش آپشن می‌شود، زیرا احتمال تغییرات بزرگ در قیمت دارایی پایه بیشتر می‌شود.

5. نرخ بهره بدون ریسک (( r ))

• نرخ بهره بدون ریسک (مانند نرخ اوراق قرضه دولتی) بر ارزش آپشن تأثیر می‌گذارد.
• برای آپشن خرید: افزایش نرخ بهره باعث افزایش ارزش آپشن می‌شود، زیرا هزینه فرصت نگهداری پول نقد کاهش می‌یابد.
• برای آپشن فروش: افزایش نرخ بهره باعث کاهش ارزش آپشن می‌شود.

6. سود سهام (Dividends)

• اگر دارایی پایه سود سهام پرداخت کند، قیمت آپشن تحت تأثیر قرار می‌گیرد.
• پرداخت سود سهام باعث کاهش قیمت دارایی پایه می‌شود، بنابراین ارزش آپشن خرید کاهش و ارزش آپشن فروش افزایش می‌یابد.
• مدل بلک-شولز اولیه فرض می‌کرد که دارایی پایه سود سهام پرداخت نمی‌کند، اما نسخه‌های بعدی این مدل (مانند مدل مرتون) این عامل را در نظر می‌گیرند.

یونانی‌ها (Greeks) در قیمت‌گذاری آپشن

یونانی‌ها معیارهای حساسیتی هستند که نشان می‌دهند قیمت آپشن چگونه به تغییرات عوامل مختلف واکنش نشان می‌دهد. این معیارها در مدل بلک-شولز محاسبه می‌شوند و برای مدیریت ریسک و استراتژی‌های معاملاتی بسیار مهم هستند:

1. دلتا (Delta): نشان‌دهنده تغییر قیمت آپشن نسبت به تغییر قیمت دارایی پایه است. برای آپشن خرید، دلتا بین 0 تا 1 و برای آپشن فروش بین -1 تا 0 است.
2. گاما (Gamma): نرخ تغییر دلتا نسبت به تغییر قیمت دارایی پایه را نشان می‌دهد.
3. تتا (Theta): نشان‌دهنده کاهش ارزش آپشن با گذشت زمان (پوسیدگی زمانی) است.
4. وگا (Vega): حساسیت قیمت آپشن به تغییرات نوسان‌پذیری ضمنی را نشان می‌دهد.
5. رو (Rho): حساسیت قیمت آپشن به تغییرات نرخ بهره بدون ریسک را نشان می‌دهد.

مدل بلک-شولز چیست؟

مدل بلک-شولز یک مدل ریاضی است که برای محاسبه قیمت تئوریک آپشن‌های خرید (Call) و فروش (Put) استفاده می‌شود. این مدل فرض می‌کند که قیمت دارایی پایه از یک فرآیند تصادفی (Random Walk) با توزیع لگاریتمی نرمال پیروی می‌کند و بازارها کارا هستند. فرمول بلک-شولز برای آپشن‌های خرید و فروش به‌صورت زیر است:

فرمول بلک-شولز

برای آپشن خرید (Call Option): [ C = S \cdot N(d_1) – K \cdot e^{-rT} \cdot N(d_2) ]

برای آپشن فروش (Put Option): [ P = K \cdot e^{-rT} \cdot N(-d_2) – S \cdot N(-d_1) ]

که در آن:

• ( C ): قیمت آپشن خرید
• ( P ): قیمت آپشن فروش
• ( S ): قیمت کنونی دارایی پایه
• ( K ): قیمت اجرایی (Strike Price)
• ( r ): نرخ بهره بدون ریسک
• ( T ): زمان باقی‌مانده تا انقضای آپشن (به سال)
• ( N ): تابع توزیع تجمعی نرمال استاندارد
• ( d_1 ) و ( d_2 ): [ d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}} ] [ d_2 = d_1 – \sigma \sqrt{T} ]
• ( \sigma ): نوسان‌پذیری سالانه دارایی پایه

فرضیات مدل بلک-شولز

مدل بلک-شولز بر اساس فرضیات زیر ساخته شده است:

• بازار کارا است: قیمت‌ها تمام اطلاعات موجود را منعکس می‌کنند.
• حرکت قیمت تصادفی است: قیمت دارایی پایه از یک فرآیند تصادفی با توزیع لگاریتمی نرمال پیروی می‌کند.
• نرخ بهره ثابت است: نرخ بهره بدون ریسک (( r )) در طول عمر آپشن ثابت است.
• نوسان‌پذیری ثابت است: نوسان‌پذیری (( \sigma )) در طول زمان تغییر نمی‌کند.
• بدون پرداخت سود سهام: دارایی پایه سود سهام پرداخت نمی‌کند (این فرض بعداً توسط مرتون اصلاح شد).
• آپشن اروپایی: آپشن فقط در تاریخ انقضا قابل اجرا است.
• بدون هزینه معامله: معاملات بدون هزینه یا مالیات انجام می‌شوند.

کاربردهای مدل بلک-شولز

مدل بلک-شولز در موارد زیر کاربرد دارد:

• قیمت‌گذاری آپشن‌ها: تعیین قیمت منصفانه برای آپشن‌های خرید و فروش.
• مدیریت ریسک: کمک به معامله‌گران برای محاسبه یونانی‌ها و مدیریت پرتفوی.
• استراتژی‌های معاملاتی: استفاده در استراتژی‌هایی مانند Straddle، Strangle، یا Covered Call.
• ارزیابی نوسان‌پذیری ضمنی: استخراج انتظارات بازار از نوسانات آینده.

محدودیت‌های مدل بلک-شولز

با وجود کاربردهای فراوان، مدل بلک-شولز دارای محدودیت‌هایی است:

• فرضیات غیرواقعی: فرضیاتی مانند نوسانات ثابت، توزیع نرمال لگاریتمی بازده‌ها و عدم وجود سود نقدی (در نسخه اصلی) در واقعیت بازار همیشه صادق نیستند. بازارهای مالی دارای “چولگی” (Skewness) و “کشیدگی” (Kurtosis) هستند که مدل بلک-شولز آن‌ها را نادیده می‌گیرد.
• آپشن‌های آمریکایی: مدل بلک-شولز فقط برای آپشن‌های اروپایی (که فقط در تاریخ انقضا قابل اعمال هستند) مناسب است. برای آپشن‌های آمریکایی (که می‌توانند در هر زمانی تا تاریخ انقضا اعمال شوند)، قیمت‌گذاری پیچیده‌تر است و نیاز به مدل‌های دیگری مانند مدل دوجمله‌ای دارد.
• تغییرات نوسانات (Volatility Smile/Skew): در عمل، نوسانات ضمنی برای آپشن‌هایی با قیمت اعمال و تاریخ انقضای مختلف، یکسان نیستند. این پدیده به “لبخند نوسان” (Volatility Smile) یا “کج‌شدگی نوسان” (Volatility Skew) معروف است و نشان می‌دهد که بازار برای آپشن‌های ITM و OTM نوسانات متفاوتی قائل است.
• عدم پوشش رویدادهای ناگهانی (Jump Risk): مدل بلک-شولز فرض می‌کند که تغییرات قیمت پیوسته هستند و ناگهانی نیستند. این فرض در مواجهه با رویدادهای خبری ناگهانی (مانند گزارش سود یا ادغام شرکت‌ها) که می‌توانند باعث جهش‌های ناگهانی در قیمت شوند، کارایی خود را از دست می‌دهد.

دوره جامع معاملات آپشن، راهی ساده برای درآمد دلاری در اوقات فراغت | همین حالا کلیک کن.

مدل‌های جایگزین

به دلیل محدودیت‌های بلک-شولز، مدل‌های دیگری نیز توسعه یافته‌اند که تلاش می‌کنند به واقعیت بازار نزدیک‌تر باشند:

1. مدل دوجمله‌ای (Binomial Option Pricing Model):

   • این مدل توسط کاکس، راس و روبینشتاین (Cox, Ross, and Rubinstein – CRR) ارائه شد و یکی از اولین مدل‌های جایگزین بلک-شولز بود.
   • مدل دوجمله‌ای، زمان باقی‌مانده تا انقضا را به دوره‌های کوچک‌تر تقسیم می‌کند و فرض می‌کند که قیمت دارایی پایه در هر دوره می‌تواند تنها دو مسیر را طی کند: بالا رفتن یا پایین آمدن.
   • مزیت اصلی این مدل، توانایی آن در قیمت‌گذاری آپشن‌های آمریکایی است که امکان اعمال زودتر از موعد را دارند. همچنین، انعطاف‌پذیری بیشتری در مدل‌سازی سود نقدی و تغییر نوسانات دارد.
   • این مدل از نظر مفهومی ساده‌تر و شهودی‌تر از بلک-شولز است و پایه بسیاری از مدل‌های پیشرفته‌تر را تشکیل می‌دهد.

2. مدل‌های مونت کارلو (Monte Carlo Simulation):

   • این مدل‌ها برای قیمت‌گذاری آپشن‌های پیچیده‌تر (مانند آپشن‌های مسیر-وابسته یا آپشن‌های اگزوتیک) استفاده می‌شوند.
   • در این روش، هزاران یا میلیون‌ها مسیر ممکن برای قیمت دارایی پایه در طول زمان شبیه‌سازی می‌شوند و سپس قیمت آپشن به عنوان میانگین ارزش پرداخت‌های نهایی در هر مسیر محاسبه می‌شود.
   • این مدل‌ها به توان محاسباتی بالایی نیاز دارند.

3. مدل‌های مبتنی بر سری‌های تیلور (Taylor Series Expansion Models):

   • این مدل‌ها تلاش می‌کنند نوسانات ضمنی را با در نظر گرفتن چولگی و کشیدگی در توزیع بازده‌ها مدل‌سازی کنند و به این ترتیب دقت قیمت‌گذاری را افزایش دهند.

4. مدل‌های GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity):

   • این مدل‌ها برای مدل‌سازی نوسانات متغیر در طول زمان استفاده می‌شوند و می‌توانند نوسانات خوشه‌ای (Volatility Clustering) را در نظر بگیرند.

رویکردهای نوین در قیمت‌گذاری آپشن

روش‌های مبتنی بر یادگیری ماشین

1. شبکه‌های عصبی برای تخمین قیمت:

   • آموزش مدل بر اساس داده‌های تاریخی

   • پیش‌بینی نوسانات ضمنی

2. روش‌های بیزی:

   • به‌روزرسانی پارامترها با اطلاعات جدید

   • مدل‌سازی عدم قطعیت

توسعه‌های نظری اخیر

1. تئوری بازار ناقص (Incomplete Markets):

   • قیمت‌گذاری در شرایط عدم وجود هج کامل

   • مدل‌سازی با معیارهای مارتینگل متعدد

2. مالی رفتاری در قیمت‌گذاری آپشن:

   • تأثیر روانشناسی بازار بر قیمت‌ها

   • مدل‌سازی ترجیحات سرمایه‌گذاران

3. روش‌های کوانتومی:

   • استفاده از الگوریتم‌های کوانتومی برای محاسبات پیچیده

   • شبیه‌سازی سریع سناریوها

نکات کلیدی برای معامله‌گران

• ترکیب با تحلیل بازار: مدل بلک-شولز باید با تحلیل تکنیکال و بنیادی ترکیب شود تا پیش‌بینی‌های دقیق‌تری ارائه دهد.
• توجه به نوسان‌پذیری ضمنی: این معیار اغلب مهم‌تر از نوسان‌پذیری تاریخی است، زیرا انتظارات بازار را نشان می‌دهد.
• مدیریت ریسک: استفاده از یونانی‌ها برای تنظیم استراتژی‌های معاملاتی و کاهش ریسک.
• آزمایش و شبیه‌سازی: معامله‌گران باید مدل‌ها را در حساب‌های دمو آزمایش کنند.

دوره جامع معاملات آپشن، راهی ساده برای درآمد دلاری در اوقات فراغت | همین حالا کلیک کن.

جمع‌بندی

قیمت‌گذاری قراردادهای آپشن فرآیندی پیچیده است که تحت تأثیر عوامل متعددی قرار دارد. مدل بلک-شولز، با وجود فرضیات ساده‌کننده، به عنوان یک ابزار قدرتمند و مبنایی برای درک قیمت‌گذاری آپشن‌ها باقی مانده است. این مدل، با معرفی مفاهیم کلیدی مانند نوسانات ضمنی و “یونانی‌ها”، به توسعه بازارهای مشتقات کمک شایانی کرده است.

با این حال، درک محدودیت‌های بلک-شولز و آشنایی با مدل‌های جایگزین مانند مدل دوجمله‌ای و شبیه‌سازی مونت کارلو، برای معامله‌گران و تحلیل‌گران حرفه‌ای ضروری است تا بتوانند در محیط‌های پویای بازار مالی، قیمت‌گذاری دقیق‌تری انجام داده و استراتژی‌های معاملاتی و پوشش ریسک خود را بهینه‌سازی کنند. در نهایت، هنر قیمت‌گذاری آپشن‌ها، ترکیبی از درک تئوری‌های بنیادی، استفاده از ابزارهای تحلیلی و همچنین توجه به واقعیت‌های پویای بازار است.

سوالات متداول 

1. منظور از قیمت آپشن (Option Premium) چیست؟

قیمت آپشن مبلغی است که خریدار آپشن به فروشنده پرداخت می‌کند. این قیمت شامل ارزش ذاتی و ارزش زمانی قرارداد است.

2. ارزش ذاتی در آپشن چه مفهومی دارد؟

ارزش ذاتی اختلاف بین قیمت دارایی پایه و قیمت اعمال است، در صورتی‌ که این اختلاف به نفع دارنده قرارداد باشد. برای آپشن Call زمانی‌ که قیمت دارایی پایه بیشتر از قیمت اعمال باشد، ارزش ذاتی مثبت می‌شود.

3. ارزش زمانی در آپشن چه اهمیتی دارد؟

ارزش زمانی نشان‌دهنده پتانسیل سوددهی آپشن تا قبل از سررسید است. هرچه زمان بیشتر و نوسان بیشتر باشد، این بخش از قیمت افزایش می‌یابد.

4. مدل بلک-شولز برای چه نوع آپشن‌هایی استفاده می‌شود؟

مدل بلک-شولز برای قیمت‌گذاری آپشن‌های اروپایی (که فقط در تاریخ سررسید قابل اعمال هستند) به‌کار می‌رود و برای سهام بدون سود نقدی دقیق‌تر عمل می‌کند.

5. عوامل اصلی موثر بر قیمت آپشن کدامند؟

قیمت دارایی پایه، قیمت اعمال، زمان باقی‌مانده تا سررسید، نوسان ضمنی، نرخ بهره بدون ریسک و سود نقدی احتمالی.

6. نوسان ضمنی (Implied Volatility) چه تأثیری بر قیمت آپشن دارد؟

افزایش نوسان ضمنی باعث افزایش قیمت آپشن‌ها (هم Call و هم Put) می‌شود، زیرا احتمال سوددهی آن‌ها بالاتر می‌رود.

7. چرا با وجود منفی بودن ارزش ذاتی، آپشن ممکن است ارزشمند باشد؟

چون ممکن است هنوز زمان باقی‌مانده‌ای وجود داشته باشد و بازار احتمال دهد قیمت به نفع خریدار آپشن تغییر کند. این ارزش اضافی همان ارزش زمانی است.

8. تفاوت بین مدل بلک-شولز و مدل باینامی چیست؟

مدل بلک-شولز مبتنی بر توزیع نرمال و پیوسته زمان است، در حالی‌ که مدل باینامی حرکت قیمت را به‌صورت گسسته در هر مرحله زمانی مدل می‌کند و برای آپشن‌های آمریکایی مناسب‌تر است.

9. آیا مدل بلک-شولز در بازار واقعی همیشه دقیق است؟

خیر. این مدل مفروضاتی دارد که ممکن است در بازار واقعی برقرار نباشند (مثل نوسان ثابت، نبود هزینه معامله و…).

10. آپشن‌هایی که قیمت آن‌ها صفر است، بی‌ارزش هستند؟

نه الزاماً. اگر قیمت فعلی آپشن صفر باشد ولی زمان تا سررسید وجود داشته باشد، ممکن است در آینده ارزشمند شود. اما در لحظه، هیچ ارزش ذاتی یا زمانی ندارد.

11. چطور می‌توان نوسان ضمنی را محاسبه کرد؟

نوسان ضمنی معمولاً با معکوس کردن مدل بلک-شولز و وارد کردن قیمت بازار آپشن به آن محاسبه می‌شود. در واقع می‌پرسیم: «چه نوسانی باعث می‌شود قیمت بلک-شولز برابر قیمت بازار باشد؟»

12. آیا قیمت آپشن به سرعت تغییر می‌کند؟

بله. قیمت آپشن تحت تأثیر نوسانات بازار، گذر زمان و اخبار اقتصادی به‌شدت متغیر است. به همین دلیل درک دقیق پارامترهای مؤثر بر قیمت آن اهمیت دارد.