مدل بلک-شولز Black-Scholes

مدل بلک-شولز (Black-Scholes) یکی از مهم‌ترین ابزارهای مالی در نظریه مدرن مالی است که برای ارزش‌گذاری قراردادهای اختیار معامله (Options) به کار می‌رود. این مدل در سال ۱۹۷۳ توسط فیشر بلک (Fischer Black)، مایرون شولز (Myron Scholes) و رابرت مرتون (Robert Merton) توسعه یافت و به دلیل تأثیر عمیقش بر بازارهای مالی، جایزه نوبل اقتصاد در سال ۱۹۹۷ به شولز و مرتون اهدا شد (بلک در سال ۱۹۹۵ درگذشت و جایزه نوبل به صورت پسامرگ اهدا نمی‌شود).

این مدل، چارچوبی ریاضی برای تعیین قیمت منصفانه قراردادهای اختیار خرید (Call Option) و اختیار فروش (Put Option) ارائه می‌دهد و به عنوان پایه‌ای برای تحلیل‌های مالی و مدیریت ریسک در بازارهای مشتقه شناخته می‌شود.

مدل بلک-شولز بر پایه این فرض بنا شده است که قیمت دارایی‌های مالی (مانند سهام) از یک حرکت تصادفی خاص به نام حرکت براونی هندسی (Geometric Brownian Motion) پیروی می‌کند. این بدان معناست که تغییرات قیمت دارایی در طول زمان کوچک و پیوسته هستند و بازدهی‌های لگاریتمی دارایی دارای توزیع نرمال هستند.

نکته کلیدی در این مدل، حذف فرصت آربیتراژ (Arbitrage) است. آربیتراژ به معنای کسب سود بدون ریسک از اختلاف قیمت در بازارهای مختلف است. بلک و شولز نشان دادند که در یک بازار کارا، می‌توان با خرید و فروش دارایی پایه به روشی خاص، ریسک حاصل از اختیار معامله را از بین برد و در نتیجه، قیمت اختیار معامله باید به گونه‌ای باشد که فرصت آربیتراژ وجود نداشته باشد. این فرآیند به پوشش ریسک (Hedging) مشهور است.

در این مقاله، به بررسی جامع مدل بلک-شولز، تاریخچه آن، مفروضات، فرمول ریاضی، کاربردها، محدودیت‌ها و تأثیرات آن بر دنیای مالی پرداخته خواهد شد.

دوره جامع معاملات آپشن، راهی ساده برای درآمد دلاری در اوقات فراغت | همین حالا کلیک کن.

تاریخچه مدل بلک-شولز

پیشینه

قراردادهای اختیار معامله از قرن‌ها پیش در بازارهای مالی وجود داشته‌اند، اما تا پیش از دهه ۱۹۷۰، قیمت‌گذاری این قراردادها بیشتر بر اساس شهود و تجربه انجام می‌شد. در دهه ۱۹۶۰، اقتصاددانان و ریاضیدانان شروع به توسعه مدل‌های ریاضی برای ارزش‌گذاری این ابزارها کردند. یکی از پیشگامان این حوزه، ادوارد تورپ (Edward Thorp) بود که با استفاده از مفاهیم احتمال و آمار، روش‌هایی برای قیمت‌گذاری اختیار معامله ارائه داد. با این حال، این روش‌ها فاقد چارچوب ریاضی جامعی بودند.

توسعه مدل

در اوایل دهه ۱۹۷۰، فیشر بلک و مایرون شولز، که هر دو در دانشگاه شیکاگو فعالیت می‌کردند، شروع به همکاری برای حل مسئله قیمت‌گذاری اختیار معامله کردند. آن‌ها با استفاده از مفاهیم ریاضی پیشرفته، از جمله معادلات دیفرانسیل و فرآیندهای تصادفی، مدلی را توسعه دادند که قیمت یک اختیار معامله را بر اساس متغیرهای کلیدی مانند قیمت دارایی پایه، زمان تا سررسید، نرخ بهره بدون ریسک و نوسانات بازار محاسبه می‌کرد.

رابرت مرتون بعداً به این پروژه پیوست و با ارائه دیدگاه‌های نظری و ریاضی، به بهبود مدل کمک کرد. مرتون مفهوم “جهان بدون ریسک” (Risk-Neutral World) را به مدل اضافه کرد که یکی از پایه‌های کلیدی آن شد. مقاله اصلی بلک و شولز در سال ۱۹۷۳ در مجله Journal of Political Economy با عنوان “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” منتشر شد و به سرعت توجه اقتصاددانان و فعالان بازارهای مالی را جلب کرد.

تأثیرات اولیه

مدل بلک-شولز به دلیل سادگی و دقتش، به سرعت در بازارهای مالی، به‌ویژه در بورس اختیار معامله شیکاگو (CBOE) که در همان سال ۱۹۷۳ تأسیس شد، مورد استقبال قرار گرفت. این مدل به معامله‌گران و سرمایه‌گذاران امکان داد تا قیمت‌های منصفانه قراردادهای اختیار معامله را محاسبه کرده و استراتژی‌های پیچیده پوشش ریسک (Hedging) را پیاده‌سازی کنند.

نحوه عملکرد مدل بلک-شولز

این مدل فرض می‌کند که قیمت دارایی‌هایی مانند سهام یا قراردادهای آتی از توزیع لگ-نرمال پیروی می‌کنند و روند حرکت قیمت‌ها تصادفی و با میانگین و نوسان ثابت است.

برای محاسبه قیمت یک اختیار خرید اروپایی، شش عامل در نظر گرفته می‌شود:

1. نوسان‌پذیری
2. قیمت دارایی پایه
3. قیمت اعمال اختیار
4. زمان تا سررسید
5. نرخ بهره بدون ریسک
6. نوع اختیار (خرید یا فروش)

مدل پیش‌بینی می‌کند که قیمت دارایی‌های پرتراکنش از یک حرکت براونی هندسی با نوسان و نرخ رشد ثابت پیروی می‌کند.

پیش‌زمینه‌ای برای درک مدل بلک-شولز

در بازارهای مالی، ابزارهایی وجود دارند به نام «اختیار معامله» که به دارنده‌ی آن‌ها این حق (و نه تعهد) را می‌دهد که در آینده، یک دارایی را با قیمتی معین بخرد یا بفروشد. این قراردادها پیچیدگی زیادی دارند و تعیین قیمت منصفانه‌ی آن‌ها برای معامله‌گران، سرمایه‌گذاران و مؤسسات مالی اهمیت حیاتی دارد. پیش از ارائه‌ی مدل بلک-شولز، قیمت‌گذاری این ابزارها بیشتر براساس تجربه، شهود و تحلیل‌های ناپایدار انجام می‌شد.

هدف اصلی مدل بلک-شولز

هدف اصلی این مدل، محاسبه قیمت نظری (Theoretical Price) یا ارزش منصفانه (Fair Value) قراردادهای اختیار معامله (Options) به سبک اروپایی است. اختیار معامله نوعی اوراق مشتقه است که به دارنده آن حق (نه تعهد) خرید یا فروش یک دارایی پایه (مانند سهام) را با قیمت مشخص (قیمت اعمال یا Strike Price) در یک زمان مشخص (تاریخ سررسید) می‌دهد. این مدل به معامله‌گران، سرمایه‌گذاران و نهادهای مالی کمک می‌کند تا تصمیمات آگاهانه‌تری در مورد خرید و فروش این اوراق بگیرند و ریسک خود را مدیریت کنند.

متغیرهای اصلی مدل بلک-شولز

مدل بلک-شولز برای محاسبه قیمت اختیار معامله به پنج متغیر ورودی اصلی نیاز دارد:

1. قیمت فعلی دارایی پایه (Current Stock Price – S): قیمت فعلی سهام یا دارایی دیگری که اختیار معامله بر روی آن صادر شده است.
2. قیمت اعمال اختیار (Strike Price – K): قیمتی که دارنده اختیار می‌تواند دارایی پایه را در تاریخ سررسید خریداری (برای اختیار خرید) یا به فروش برساند (برای اختیار فروش).
3. زمان تا سررسید (Time to Expiration – T): مدت زمان باقی‌مانده تا انقضای قرارداد اختیار معامله، معمولاً به صورت کسری از یک سال.
4. نرخ بهره بدون ریسک (Risk-Free Rate – r): نرخ بازدهی که می‌توان با سرمایه‌گذاری در یک دارایی بدون ریسک (مانند اوراق قرضه دولتی) به دست آورد.
5. نوسان‌پذیری دارایی پایه (Volatility – $\sigma$): میزان تغییرات (نوسانات) قیمت دارایی پایه در طول زمان. این پارامتر معمولاً با استفاده از داده‌های تاریخی (نوسان‌پذیری تاریخی) یا با استخراج از قیمت‌های بازار (نوسان‌پذیری ضمنی) محاسبه می‌شود.

فرمول مدل بلک-شولز

مدل بلک-شولز قیمت یک اختیار معامله را با استفاده از یک معادله ریاضی محاسبه می‌کند. فرمول‌های اصلی برای اختیار خرید (Call) و اختیار فروش (Put) به صورت زیر هستند:

فرمول اختیار خرید (Call Option):

[ C = S_0 N(d_1) – K e^{-rT} N(d_2) ]

فرمول اختیار فروش (Put Option):

[ P = K e^{-rT} N(-d_2) – S_0 N(-d_1) ]

متغیرها:

• (C): قیمت اختیار خرید
• (P): قیمت اختیار فروش
• (S_0): قیمت فعلی دارایی پایه (مانند قیمت سهام)
• (K): قیمت توافقی (Strike Price)
• (r): نرخ بهره بدون ریسک
• (T): زمان تا سررسید (به سال)
• (\sigma): نوسانات سالانه دارایی پایه
• (N(x)): تابع توزیع تجمعی نرمال استاندارد
• (d_1) و (d_2): متغیرهای کمکی که به صورت زیر تعریف می‌شوند: [ d_1 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r + \sigma^2 / 2)T}{\sigma \sqrt{T}} ] [ d_2 = d_1 – \sigma \sqrt{T} ]

توضیح فرمول:

• (S_0 N(d_1)): ارزش مورد انتظار دارایی پایه در زمان سررسید، با فرض اینکه اختیار معامله اجرا شود.
• (K e^{-rT} N(d_2)): ارزش فعلی قیمت توافقی، تعدیل‌شده با نرخ بهره بدون ریسک.
• (N(d_1)) و (N(d_2)): احتمالاتی را نشان می‌دهند که اختیار معامله در زمان سررسید “در پول” (In-the-Money) باشد

دوره جامع معاملات آپشن، راهی ساده برای درآمد دلاری در اوقات فراغت | همین حالا کلیک کن.

اهمیت و کاربردها

مدل بلک-شولز انقلابی در بازارهای مالی ایجاد کرد و کاربردهای گسترده‌ای یافت:

• قیمت‌گذاری اختیار معامله: مهم‌ترین کاربرد آن، تعیین قیمت منصفانه اختیار خرید و فروش اروپایی است. این به معامله‌گران کمک می‌کند تا از قیمت‌گذاری‌های نادرست در بازار جلوگیری کرده و فرصت‌های معاملاتی را شناسایی کنند.
• مدیریت ریسک: این مدل به فعالان بازار اجازه می‌دهد تا ریسک‌های مرتبط با پوزیشن‌های اختیار معامله خود را با استفاده از “یونانی‌ها” (Greeks) اندازه‌گیری و مدیریت کنند. یونانی‌ها (مانند دلتا، گاما، وگا، تتا و رو) حساسیت قیمت اختیار معامله را به تغییرات در متغیرهای ورودی نشان می‌دهند.
• برآورد نوسان‌پذیری ضمنی (Implied Volatility): با استفاده از قیمت‌های بازار اختیار معامله و سایر ورودی‌ها، می‌توان نوسان‌پذیری ضمنی را (که انتظارات بازار از نوسانات آینده را نشان می‌دهد) استخراج کرد.
• توسعه محصولات مالی جدید: این مدل پایه و اساس توسعه بسیاری از اوراق مشتقه پیچیده‌تر و ابزارهای مالی دیگر شد.
• ارزیابی سرمایه‌گذاری‌های شرکتی: با تعمیم مدل، می‌توان ارزش‌گذاری برخی از پروژه‌های سرمایه‌گذاری یا بدهی‌های شرکتی را که ویژگی‌های آپشنی دارند، انجام داد.
• مدل‌های ارزیابی شرکت‌ها: در حوزه تامین مالی شرکتی و ارزیابی شرکت‌ها، مدل بلک-شولز می‌تواند برای ارزش‌گذاری حقوق صاحبان سهام و بدهی‌هایی که دارای ویژگی‌های اختیاری هستند، مورد استفاده قرار گیرد.

فرض‌های مدل بلک-شولز

مدل بلک-شولز بر پایه مجموعه‌ای از مفروضات ساده‌ساز بنا شده است که برخی از آن‌ها در دنیای واقعی ممکن است به طور کامل صادق نباشند. این مفروضات عبارت‌اند از:

1. بازار بدون اصطکاک: فرض می‌شود که هیچ هزینه معاملاتی یا مالیاتی وجود ندارد و امکان خرید و فروش دارایی‌ها بدون محدودیت فراهم است.
2. نوسانات ثابت: نوسانات قیمت دارایی پایه (Volatility) در طول زمان ثابت است.
3. بازده لگاریتمی نرمال: تغییرات قیمت دارایی پایه از یک توزیع لگاریتمی نرمال (Log-Normal Distribution) پیروی می‌کند.
4. نرخ بهره بدون ریسک ثابت: نرخ بهره بدون ریسک (Risk-Free Rate) در طول دوره قرارداد ثابت است.
5. جهان بدون ریسک: در یک جهان بدون ریسک، سرمایه‌گذاران نسبت به ریسک بی‌تفاوت هستند و بازده مورد انتظار دارایی‌ها برابر با نرخ بهره بدون ریسک است.
6. عدم پرداخت سود نقدی: دارایی پایه (مانند سهام) در طول دوره قرارداد سود نقدی (Dividend) پرداخت نمی‌کند.
7. اختیار معامله اروپایی: مدل بلک-شولز برای اختیار معامله‌های اروپایی (European Options) طراحی شده است که فقط در زمان سررسید قابل اجرا هستند، نه اختیار معامله‌های آمریکایی که در هر زمان قبل از سررسید قابل اجرا هستند.

این مفروضات باعث می‌شوند که مدل بلک-شولز در برخی شرایط خاص، انحرافاتی از واقعیت داشته باشد، اما همچنان به دلیل سادگی و کاربردی بودن، به طور گسترده استفاده می‌شود.

محدودیت‌های مدل بلک-شولز

اگرچه مدل بلک-شولز انقلابی در قیمت‌گذاری ابزارهای مشتقه ایجاد کرد، اما با محدودیت‌هایی نیز همراه است:

• نوسان‌پذیری ثابت: در واقعیت، نوسان قیمت دارایی‌ها تغییر می‌کند.
• عدم پرداخت سود: بسیاری از دارایی‌ها سود نقدی یا بهره دارند.
• عدم تطابق با بازار: گاهی قیمت‌های واقعی اختیار معامله با قیمت‌های مدل تفاوت زیادی دارند.
• عدم لحاظ شوک‌های بزرگ بازار: این مدل رفتارهای غیرعادی مانند جهش‌های ناگهانی قیمت را در نظر نمی‌گیرد.

انتقادات مدل بلک-شولز

با وجود تأثیرگذاری عظیم، مدل بلک-شولز با انتقادات و محدودیت‌هایی نیز مواجه است:

• واقع‌بینانه نبودن فرضیات: همانطور که اشاره شد، بسیاری از فرضیات مدل (مانند نوسان‌پذیری ثابت، عدم وجود پرش قیمتی، عدم هزینه‌های معاملاتی) با واقعیت بازارها همخوانی ندارند. این امر می‌تواند منجر به انحراف در قیمت‌گذاری‌های مدل شود.
• پدیده “لبخند نوسان‌پذیری” (Volatility Smile/Skew): در بازار واقعی، نوسان‌پذیری ضمنی برای اختیارات با قیمت‌های اعمال متفاوت (حتی برای یک دارایی و تاریخ سررسید یکسان) متفاوت است و یک الگوی “لبخند” یا “کجی” را نشان می‌دهد. این در حالی است که مدل بلک-شولز فرض می‌کند نوسان‌پذیری برای همه قیمت‌های اعمال ثابت است.
• عدم در نظر گرفتن رویدادهای غیرمنتظره: مدل نمی‌تواند شوک‌های ناگهانی بازار، بحران‌های اقتصادی یا رویدادهای سیاسی که می‌توانند به طور ناگهانی قیمت‌ها را جابجا کنند، پیش‌بینی کند.
• مناسب نبودن برای اختیارات آمریکایی: به دلیل امکان اعمال پیش از سررسید در اختیارات آمریکایی، مدل بلک-شولز مستقیماً برای قیمت‌گذاری این نوع اختیارات کاربرد ندارد (البته مدل‌های دیگری بر پایه بلک-شولز برای این منظور توسعه یافته‌اند).
• حساسیت بالا به ورودی‌ها: دقت خروجی‌های مدل به صحت اطلاعات ورودی، به ویژه نوسان‌پذیری، بستگی زیادی دارد. تخمین اشتباه نوسان‌پذیری می‌تواند به قیمت‌گذاری‌های غیرواقعی منجر شود.

تأثیرات مدل بلک-شولز بر بازارهای مالی

مدل بلک-شولز تأثیرات عمیقی بر بازارهای مالی و اقتصاد مدرن گذاشته است:

• رشد بازار مشتقه‌ها: این مدل به توسعه و گسترش بازارهای مشتقه، به‌ویژه اختیار معامله‌ها، کمک کرد و حجم معاملات در بورس‌های اختیار معامله را به شدت افزایش داد.
• مدیریت ریسک پیشرفته: مفاهیم معرفی‌شده توسط این مدل، مانند نسبت‌های حساسیت (Greeks)، به معامله‌گران امکان داد تا ریسک‌های خود را بهتر مدیریت کنند.
• نوآوری‌های مالی: مدل بلک-شولز به عنوان پایه‌ای برای توسعه ابزارهای مالی جدید و پیچیده عمل کرد.
• تأثیر بر آموزش مالی: این مدل به یکی از موضوعات اصلی در آموزش مالی و اقتصاد تبدیل شد و در برنامه‌های درسی دانشگاه‌ها گنجانده شد.

انحراف نوسان (Volatility Skew)

مدل فرض می‌کند قیمت‌ها از توزیع لگ‌نرمال پیروی می‌کنند. اما در واقعیت، توزیع‌ها دارای کشیدگی به سمت راست و دم‌های چاق هستند.

پس از سقوط بازار در سال ۱۹۸۷، بازارها به شکل معناداری نوسان‌های بالا را برای اختیارهای خارج از پول (OTM) پیش‌بینی کردند که باعث شد نوسان تلخ (Volatility Smile) یا انحراف نوسان (Skew) شکل بگیرد.

این موضوع یکی از ضعف‌های مدل است، زیرا نوسان ضمنی را به‌درستی برآورد نمی‌کند.

یونانی‌های بلک-شولز

یونانی‌ها معیارهای حساسیت قیمت اختیار نسبت به عوامل مختلف هستند و برای مدیریت ریسک پرتفوی اختیار معامله ضروری‌اند:

• دلتا (Δ): تغییرات قیمت اختیار نسبت به تغییرات قیمت دارایی پایه. برای اختیار خرید بین 0 تا 1 و برای اختیار فروش بین -1 تا 0 است.
• گاما (Γ): تغییرات دلتا نسبت به تغییرات قیمت دارایی پایه. اندازه‌گیری تحدب رابطه قیمت.
• تتا (Θ): تغییرات قیمت اختیار نسبت به گذشت زمان (فرسایش زمانی).
• وگا (ν): تغییرات قیمت اختیار نسبت به تغییرات نوسان‌پذیری دارایی پایه.
• رو (ρ): تغییرات قیمت اختیار نسبت به تغییرات نرخ بهره.

توسعه مدل

برای رفع برخی از محدودیت‌های مدل بلک-شولز، نسخه‌های اصلاح‌شده‌ای توسعه یافته‌اند:

• مدل بلک-شولز-مرتون: نسخه‌ای که سود نقدی سهام را در نظر می‌گیرد.
• مدل‌های نوسانات تصادفی: این مدل‌ها فرض نوسانات ثابت را کنار گذاشته و تغییرات پویای نوسانات را مدل‌سازی می‌کنند.
• مدل باینومیال: این مدل برای قیمت‌گذاری اختیار معامله‌های آمریکایی مناسب‌تر است و امکان اجرای زودهنگام را در نظر می‌گیرد.
• مدل‌های پرش-انتشار (Jump-Diffusion Models): این مدل‌ها پرش‌های ناگهانی در قیمت دارایی‌ها را به مدل اضافه می‌کنند.

نکات کلیدی

• مدل بلک-شولز که با نام مدل بلک-شولز-مرتِن (Black-Scholes-Merton یا BSM) نیز شناخته می‌شود، یک معادله دیفرانسیل است که برای تعیین قیمت اختیار معامله (آپشن) استفاده می‌شود.

• برای استفاده از این مدل، به پنج متغیر ورودی نیاز است:

1. قیمت اعمال اختیار
2. قیمت فعلی دارایی پایه (مثلاً سهام)
3. زمان باقی‌مانده تا سررسید
4. نرخ بهره بدون ریسک
5. نوسان‌پذیری (Volatility)

• این مدل معمولاً دقیق است، اما فرض‌هایی دارد که ممکن است باعث شود نتایج آن با واقعیت تفاوت داشته باشد.

• مدل استاندارد بلک-شولز تنها برای اختیارهای اروپایی مناسب است؛ زیرا در این مدل، امکان اعمال آپشن پیش از تاریخ سررسید در نظر گرفته نشده است.

دوره جامع معاملات آپشن، راهی ساده برای درآمد دلاری در اوقات فراغت | همین حالا کلیک کن.

تفاوت بین مدل بلک-شولز (Black-Scholes) و مدل دوجمله‌ای (Binomial Option Pricing Model)

نتیجه‌گیری

مدل بلک-شولز نه‌تنها یک ابزار فنی برای تحلیل‌گران مالی است، بلکه به‌عنوان یکی از مهم‌ترین نقاط تلاقی میان نظریه‌های ریاضی و دنیای واقعی اقتصاد شناخته می‌شود. این مدل توانست پیچیدگی ابزارهای مالی را به زبان ریاضی ترجمه کند و امکان مدیریت بهتر ریسک و بازده را برای سرمایه‌گذاران فراهم سازد.

هرچند در بازارهای امروزی مدل‌های دقیق‌تر و واقع‌گرایانه‌تری استفاده می‌شوند، اما مدل بلک-شولز همچنان جایگاه مهمی در تاریخچه‌ی نظریه مالی دارد و شناخت آن برای هر تحلیل‌گر، اقتصاددان یا سرمایه‌گذاری ضروری است.

سوالات متداول 

۱. مدل بلک-شولز دقیقاً برای چه چیزی استفاده می‌شود؟

مدل بلک-شولز برای قیمت‌گذاری «اختیار معامله‌های اروپایی» به‌کار می‌رود، به‌ویژه اختیار خرید (Call) و اختیار فروش (Put) که تنها در تاریخ سررسید قابل اجرا هستند.

۲. چه کسانی مدل بلک-شولز را ابداع کردند؟

این مدل توسط فیشر بلک و مایرون شولز در سال ۱۹۷۳ معرفی شد. رابرت مرتون نیز با گسترش نظری آن، در توسعه‌ی مدل نقش اساسی داشت.

۳. آیا مدل بلک-شولز فقط برای اختیار خرید (Call) است؟

خیر. نسخه‌ی اولیه مدل برای اختیار خرید طراحی شد، اما می‌توان با استفاده از رابطه‌های پایه‌ای بین اختیار خرید و فروش (مثل رابطه put-call parity) قیمت اختیار فروش را نیز محاسبه کرد.

۴. آیا مدل بلک-شولز قابل استفاده برای همه انواع اختیار معامله است؟

خیر. این مدل به‌طور خاص برای «اختیارهای اروپایی» طراحی شده است و برای «اختیارهای آمریکایی» که در هر زمان تا سررسید قابل اجرا هستند، دقت کمتری دارد.

۵. مهم‌ترین فرض‌های مدل بلک-شولز چیست؟

از جمله فرض‌ها: بازار بدون اصطکاک، عدم پرداخت سود توسط دارایی پایه، نوسان‌پذیری ثابت، نرخ بهره ثابت و امکان خرید و فروش پیوسته است.

۶. آیا مدل بلک-شولز در بازارهای واقعی کاربرد دارد؟

بله، اگرچه در عمل فرض‌های مدل همیشه دقیق نیستند، اما همچنان به‌عنوان پایه‌ی نظری و چارچوب قیمت‌گذاری استفاده می‌شود و در نسخه‌های اصلاح‌شده به کار می‌رود.

۷. رابطه نرخ بهره در مدل بلک-شولز چیست؟

نرخ بهره بدون ریسک به‌صورت ثابت در مدل لحاظ می‌شود و در تخفیف (تنزیل) ارزش آینده دارایی‌ها به زمان حال استفاده می‌گردد.

۸. چگونه نوسان‌پذیری (Volatility) در مدل بلک-شولز محاسبه می‌شود؟

نوسان‌پذیری را می‌توان از داده‌های تاریخی دارایی پایه محاسبه کرد یا از بازار (با استفاده از قیمت اختیار معامله‌ها) استخراج کرد که در این صورت به آن «نوسان ضمنی» (Implied Volatility) می‌گویند.

۹. آیا مدل بلک-شولز سود نقدی (Dividend) را در نظر می‌گیرد؟

در نسخه اصلی مدل، فرض می‌شود دارایی پایه سود نمی‌دهد. اما نسخه‌های پیشرفته‌ای از مدل وجود دارند که پرداخت سود را نیز لحاظ می‌کنند.

۱۰. مدل بلک-شولز چه تأثیری بر دنیای مالی گذاشت؟

این مدل انقلابی در قیمت‌گذاری ابزارهای مشتقه به‌وجود آورد، باعث رشد بازارهای اختیار معامله شد و پایه‌گذار بسیاری از نظریه‌های مدرن مدیریت ریسک و مشتقات مالی شد.

۱۱. آیا مدل بلک-شولز هنوز در دانشگاه‌ها تدریس می‌شود؟

بله، این مدل یکی از مهم‌ترین مباحث در دروس مالی، اقتصاد ریاضی و مهندسی مالی است و جزء سرفصل‌های اصلی بسیاری از دوره‌های دانشگاهی است.

۱۲. چه جایزه‌ای به خاطر این مدل داده شد؟

در سال ۱۹۹۷، جایزه نوبل اقتصاد به خاطر توسعه مدل بلک-شولز به مایرون شولز و رابرت مرتون اهدا شد. فیشر بلک به دلیل فوت پیش از آن، مشمول جایزه نشد.