تعادل نش Nash Equilibrium

تعادل نش یکی از مفاهیم بنیادی و بسیار مهم در نظریه بازی‌هاست که نقش مهمی در اقتصاد، علوم سیاسی، علوم اجتماعی، هوش مصنوعی و حتی زیست‌شناسی ایفا می‌کند. این مفهوم نخستین بار توسط جان نش، ریاضی‌دان برجسته آمریکایی، در سال ۱۹۵۰ معرفی شد. او نشان داد که در بسیاری از موقعیت‌های رقابتی یا تعاملی، حتی اگر افراد به دنبال منافع شخصی خود باشند، وضعیت‌های پایداری به وجود می‌آید که به آن “تعادل نش” گفته می‌شود. نش در سال ۱۹۹۴ به دلیل ارائه این نظریه جایزه نوبل اقتصاد دریافت کرد.

تعادل نش حالتی است که در آن هیچ بازیکنی نمی‌تواند با تغییر استراتژی خود (در حالی که استراتژی سایر بازیکنان ثابت مانده است) سود بیشتری به دست آورد. به عبارت ساده‌تر، در تعادل نش هر بازیکن بهترین تصمیم ممکن را با توجه به تصمیمات دیگران گرفته است. بنابراین هیچ‌کس انگیزه‌ای برای تغییر رفتار خود ندارد.

به طور خلاصه:

• تعادل نش یک قضیه تصمیم‌گیری در نظریه بازی‌ها است که بیان می‌کند بازیکن بهترین شانس برای رسیدن به نتیجه مطلوب خود را با پایبندی به استراتژی اولیه خود دارد.
• در تعادل نش، استراتژی هر بازیکن زمانی بهینه است که تصمیمات سایر بازیکنان نیز در نظر گرفته شود.
• معمای زندانی نمونه‌ای رایج از نظریه بازی‌ها است و اغلب برای نمایش تأثیر تعادل نش استفاده می‌شود.
• تعادل نش اغلب در کنار استراتژی غالب بحث می‌شود، که بیان می‌کند استراتژی انتخاب‌شده یک بازیکن بهترین نتیجه را در بین تمام استراتژی‌های ممکن می‌دهد، صرف‌نظر از اینکه حریف چه استراتژی‌ای انتخاب کند.

تعریف ریاضی

در یک بازی با ( n ) بازیگر، فرض کنید هر بازیگر ( i ) یک استراتژی ( s_i ) از مجموعه استراتژی‌های ممکن ( S_i ) انتخاب کند. مجموعه استراتژی‌های همه بازیگران به صورت ( s = (s_1, s_2, …, s_n) ) تعریف می‌شود. تابع سود یا payoff برای بازیگر ( i ) به صورت ( u_i(s) ) نشان داده می‌شود. یک مجموعه استراتژی ( s^* = (s_1^, s_2^, …, s_n^*) ) یک تعادل نش است اگر برای هر بازیگر ( i ) و هر استراتژی جایگزین ( s_i \in S_i ) داشته باشیم:

[ u_i(s_i^, s_{-i}^) \geq u_i(s_i, s_{-i}^*) ]

که در آن ( s_{-i}^* ) نشان‌دهنده استراتژی‌های همه بازیگران به جز بازیگر ( i ) است. به عبارت دیگر، استراتژی ( s_i^* ) بهترین پاسخ به استراتژی‌های سایر بازیگران است.

تاریخچه

ایده‌ای نزدیک به آنچه امروز به نام تعادل نش شناخته می‌شود، نخستین‌بار توسط آنتونی آگوستین کورنو در سال ۱۸۳۸ مطرح شد. او در نظریه انحصار چندجانبه توضیح داد که بنگاه‌ها برای حداکثر کردن سود خود چگونه مقدار تولیدشان را انتخاب می‌کنند. در این چارچوب، سود هر شرکت به انتخاب‌های سایر شرکت‌ها نیز وابسته است. نقطه‌ای که در آن هر بنگاه با توجه به تولید رقبا سود خود را بیشینه می‌کند، تعادل کورنو نامیده می‌شود.

بعدها، مفهوم امروزی تعادل نش در قالب راهبردهای ترکیبی تعریف شد؛ جایی که بازیکنان به‌جای انتخاب یک اقدام مشخص، میان گزینه‌های خود احتمال توزیع می‌کنند. این ایده ابتدا در کتاب «نظریه بازی‌ها و رفتار اقتصادی» (۱۹۴۴) نوشته جان فون نویمان و اسکار مورگنسترن مطرح گردید. البته تحلیل آنان محدود به بازی‌های دو نفره با مجموع صفر بود، اما نشان دادند که در چنین بازی‌هایی همیشه یک تعادل ترکیبی وجود دارد.

نقطه عطف اصلی زمانی شکل گرفت که جان فوربز نش در مقاله معروفش «بازی‌های غیرمشارکتی» (۱۹۵۱) ثابت کرد در هر بازی با تعداد متناهی بازیکن و اقدام، دست‌کم یک تعادل نش (به صورت راهبرد ترکیبی) وجود خواهد داشت.

پس از آن، نظریه‌پردازان برای رفع کاستی‌های تعادل نش نسخه‌های اصلاحی و مکملی معرفی کردند. به‌عنوان نمونه، راینهارد سلتن در سال ۱۹۶۵ مفهوم تعادل کامل در بازی فرعی را ارائه داد تا تعادل‌هایی را که بر تهدیدهای غیرواقعی استوار بودند کنار بگذارد. همچنین مطالعات بعدی به بررسی بازی‌های تکراری یا شرایط اطلاعات ناقص پرداختند. این اصلاحات هرچند گسترده بودند، اما همچنان بر پایه چارچوب اصلی نش بنا شدند.

درک تعادل نش

تعادل نش به افتخار جان نش نام‌گذاری شده است. این مفهوم یکی از بنیادی‌ترین ارکان نظریه بازی است و تلاش می‌کند با رویکردی ریاضی نشان دهد که بازیکنان یک بازی چگونه باید عمل کنند تا بدون امکان بهبود یک‌جانبه، بهترین نتیجه ممکن را برای خود به دست آورند.

اهمیت این تعادل در گستره کاربرد آن نهفته است. از اقتصاد و سیاست گرفته تا علوم اجتماعی و حتی زیست‌شناسی، تعادل نش ابزاری برای تحلیل تصمیم‌های متقابل انسان‌ها و سازمان‌ها به شمار می‌رود.

به‌طور ساده، برای تشخیص اینکه تعادل نش در یک بازی وجود دارد یا خیر، کافی است استراتژی بازیکنان را در نظر بگیریم. اگر در شرایطی هیچ بازیکنی تمایلی نداشته باشد استراتژی خود را به‌طور یک‌جانبه تغییر دهد، آن وضعیت یک تعادل نش محسوب می‌شود.

اهمیت تعادل نش

تعادل نش نشان می‌دهد که در بسیاری از موقعیت‌ها، حتی وقتی افراد به دنبال منافع شخصی خود هستند، یک وضعیت پایدار ایجاد می‌شود. این مفهوم کمک می‌کند تا رفتار انسان‌ها و سازمان‌ها در شرایط تعارض و همکاری بهتر درک شود. همچنین به سیاست‌گذاران و اقتصاددانان امکان می‌دهد تا نتایج احتمالی تصمیمات مختلف را پیش‌بینی کنند و ساختارهایی طراحی کنند که منجر به نتایج کارآمدتر شود.

ویژگی‌های اصلی تعادل نش

1. پایداری استراتژیک: وقتی همه بازیکنان به استراتژی‌های تعادل نش پایبند باشند، هیچ فردی به تنهایی سودی از تغییر مسیر به دست نمی‌آورد.
2. خودخواهی عقلانی: هر بازیکن تنها به منافع خودش توجه می‌کند و انتخاب او بر اساس حداکثرسازی سود فردی‌اش است.
3. متقابل بودن: تصمیم هر بازیکن به تصمیم سایرین بستگی دارد، زیرا نتیجه بازی برای هر کس متاثر از انتخاب دیگران است.
4. وجود همیشگی: نش ثابت کرد که در بازی‌های با تعداد محدود بازیکن و استراتژی، حداقل یک تعادل نش وجود دارد (هرچند ممکن است این تعادل‌ها متعدد باشند).

کاربردهای تعادل نش

تعادل نش در بسیاری از زمینه‌ها کاربرد دارد، از جمله:

1. اقتصاد: تحلیل رقابت بین شرکت‌ها، بازارهای اولیگوپولی، و سیاست‌های پولی و مالی.
2. علوم سیاسی: بررسی مذاکرات بین‌المللی، استراتژی‌های انتخاباتی، و تعارضات نظامی.
3. زیست‌شناسی: تحلیل رفتارهای حیوانات در رقابت برای منابع یا بقا (نظریه بازی‌های تکاملی).
4. علوم کامپیوتر: طراحی الگوریتم‌ها، بهینه‌سازی شبکه‌ها، و سیستم‌های توزیع‌شده.
5. جامعه‌شناسی و روان‌شناسی: مطالعه رفتارهای اجتماعی و تصمیم‌گیری گروهی.

انواع تعادل نش

1. تعادل نش در استراتژی‌های خالص

در این نوع تعادل، هر بازیگر یک استراتژی خاص را انتخاب می‌کند و هیچ احتمالی برای انتخاب تصادفی استراتژی‌ها وجود ندارد. به عنوان مثال، در بازی “معمای زندانی” (Prisoner’s Dilemma)، تعادل نش در استراتژی‌های خالص زمانی رخ می‌دهد که هر دو زندانی اعتراف کنند.

2. تعادل نش در استراتژی‌های مختلط

در این حالت، بازیگران استراتژی‌های خود را با احتمالات خاصی انتخاب می‌کنند. این نوع تعادل معمولاً در بازی‌هایی رخ می‌دهد که تعادل خالص وجود ندارد یا ناپایدار است. به عنوان مثال، در بازی “سنگ، کاغذ، قیچی”، تعادل نش در استراتژی مختلط زمانی است که هر بازیکن هر گزینه را با احتمال ( \frac{1}{3} ) انتخاب کند.

3. تعادل نش در بازی‌های پویا

در بازی‌های پویا (مانند بازی‌هایی که به‌صورت ترتیبی انجام می‌شوند)، تعادل نش می‌تواند به صورت تعادل نش زیربازی کامل (Subgame Perfect Nash Equilibrium) تعریف شود. این نوع تعادل با استفاده از روش‌هایی مانند “حل به عقب” (Backward Induction) محاسبه می‌شود.

مثال ساده از تعادل نش

یکی از بهترین راه‌ها برای درک تعادل نش، بررسی مثال‌های کلاسیک است.

1. معمای زندانی (Prisoner’s Dilemma)

این مثال مشهورترین نمونه برای توضیح تعادل نش است. فرض کنید دو سارق دستگیر شده‌اند و به‌طور جداگانه مورد بازجویی قرار می‌گیرند. هر کدام دو گزینه دارند: اعتراف یا سکوت.

• اگر هر دو سکوت کنند، هر کدام 1 سال زندان می‌کشند.
• اگر یکی اعتراف و دیگری سکوت کند، اعتراف‌کننده آزاد و دیگری 10 سال زندان می‌کشد.
• اگر هر دو اعتراف کنند، هر کدام 5 سال زندان می‌کشند.

تحلیل: برای هر زندانی، فارغ از انتخاب زندانی دیگر، اعتراف کردن گزینه بهتری است.

• اگر زندانی 2 سکوت کند: زندانی 1 با اعتراف (0 سال) وضعیت بهتری از سکوت (1 سال) دارد.
• اگر زندانی 2 اعتراف کند: زندانی 1 با اعتراف (5 سال) وضعیت بهتری از سکوت (10 سال) دارد.

بنابراین، برای هر دو زندانی، اعتراف کردن استراتژی غالب است و هر دو به سمت این انتخاب سوق داده می‌شوند. در نتیجه، وضعیت “هر دو اعتراف می‌کنند” یک تعادل نش است. هرچند نتیجه برای هر دو (5 سال زندان) بدتر از حالتی است که هر دو سکوت می‌کردند (1 سال زندان)، اما هیچ‌کدام با تغییر یک‌جانبه استراتژی خود نمی‌توانند به وضعیت بهتری دست یابند.

2. بازی جنگ جنسیت‌ها (Battle of the Sexes)

این مثال شرایطی را نشان می‌دهد که در آن چندین تعادل نش وجود دارد. فرض کنید یک زوج، مرد و زن، می‌خواهند با هم به تماشای یک نمایش یا مسابقه فوتبال بروند. مرد تئاتر را دوست دارد و زن فوتبال را، اما هر دو ترجیح می‌دهند با هم باشند تا تنها.

• اگر هر دو به تئاتر بروند: مرد 2، زن 1
• اگر هر دو به فوتبال بروند: مرد 1، زن 2
• اگر مرد به تئاتر و زن به فوتبال برود: هر دو 0
• اگر مرد به فوتبال و زن به تئاتر برود: هر دو 0

در این بازی، دو تعادل نش خالص وجود دارد:

1. هر دو به تئاتر بروند: اگر مرد بداند زن به تئاتر می‌رود، دلیلی برای تغییر ندارد. همین‌طور زن.
2. هر دو به فوتبال بروند: اگر زن بداند مرد به فوتبال می‌رود، دلیلی برای تغییر ندارد. همین‌طور مرد.

این مثال نشان می‌دهد که گاهی اوقات، هماهنگی برای رسیدن به یک تعادل نش ضروری است.

محدودیت‌های تعادل نش

1. وجود چندین تعادل: در برخی بازی‌ها، چندین تعادل نش وجود دارد، و انتخاب بین آن‌ها می‌تواند چالش‌برانگیز باشد.
2. فرض عقلانیت کامل: تعادل نش فرض می‌کند که بازیگران کاملاً عقلانی هستند و اطلاعات کاملی دارند، که در دنیای واقعی همیشه صادق نیست.
3. عدم توجه به پویایی‌های بلندمدت: تعادل نش معمولاً در یک لحظه خاص بررسی می‌شود و ممکن است پویایی‌های بلندمدت را نادیده بگیرد.
4. پیچیدگی محاسباتی: در بازی‌های پیچیده با تعداد زیادی بازیکن یا استراتژی، محاسبه تعادل نش دشوار است.

قضیه نش

جان نش در مقاله خود در سال 1950 ثابت کرد که هر بازی محدود (با تعداد محدود بازیگران و استراتژی‌ها) حداقل یک تعادل نش دارد، چه در استراتژی‌های خالص و چه در استراتژی‌های مختلط. این قضیه یکی از پایه‌های نظریه بازی‌ها است و اهمیت زیادی در تحلیل‌های اقتصادی و اجتماعی دارد.

تعادل نش در مقابل استراتژی غالب

• تعادل نش: بیان می‌کند بهترین استراتژی برای بازیکن، پایبندی به استراتژی خود است وقتی استراتژی حریفان را می‌داند و همه بازیکنان استراتژی خود را حفظ می‌کنند.

• استراتژی غالب: بیان می‌کند بازیکن استراتژی‌ای را انتخاب می‌کند که بهترین نتیجه را بدهد، بدون توجه به اینکه حریف چه استراتژی‌ای دارد.

نکته مهم: مدل‌های نظریه بازی تنها زمانی درست عمل می‌کنند که بازیکنان «عاملان عقلایی» باشند، یعنی اهداف مشخص داشته باشند، بهترین نتیجه ممکن را انتخاب کنند، عدم قطعیت را در تصمیم‌گیری لحاظ کنند و گزینه‌های واقعی داشته باشند.

جمع‌بندی

تعادل نش مفهومی بنیادین در نظریه بازی‌هاست که نشان می‌دهد چگونه افراد یا سازمان‌ها در شرایطی که تصمیماتشان به تصمیم دیگران بستگی دارد، به یک نقطه پایدار می‌رسند. این مفهوم نه تنها در اقتصاد بلکه در سیاست، علوم اجتماعی، زیست‌شناسی و حتی فناوری کاربرد گسترده‌ای دارد. اگرچه محدودیت‌هایی دارد، اما همچنان یکی از قدرتمندترین ابزارها برای تحلیل رفتار استراتژیک محسوب می‌شود.